data: 2024-02-05
corso: [[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]
argomento: Cenni alla Geometria Euclidea - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"
capitolo:Cenni alla Geometria Euclidea - Sommario
Cenni alla Geometria Euclidea.
data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Prodotto Scalare
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)Definizione di prodotto scalare e le proprietà del prodotto scalare.
Sia
In particolare si sceglie
Dati due vettori
Definiamo in tal modo la funzione prodotto scalare, ovvero una del tipo
Il prodotto scalare è bilineare, ovvero che valgono le seguenti proprietà:
Valgono anche delle analoghe proprietà scambiando
Sia un
Allora il prodotto scalare
Osserviamo che per il teorema di Pitagora, questa quantità è proprio la lunghezza del vettore
FIGURA 2.1. (Osservazione 2.1.)
data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Norma, versore e angolo
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)Conseguenze della definizione di prodotto scalare: definizione di norma di un vettore, definizione di versore e definizione di angolo tra due vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
Sia
Definiamo la norma di
Notiamo che per il dominio della radice quadrata, la norma di un vettore qualsiasi è sempre positiva.
Si definisce un versore un vettore
Siano
Siano
Allora vale che il prodotto scalare dei vettori diviso per il prodotto scalare delle norme è limitato tra
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^9ed8dfCorollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0))
La dimostrazione del corollario è immediato. Basta considerare la disuguaglianza triangolare (Funzioni di potenza, radice e valore assoluto > ^5bd8b3Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare)), applicarla sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (^15ae79Teorema 4 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)) e infine dividere da ambo i lati per
Possiamo, in una maniera interessante, collegare la disuguaglianza di Cauchy Schwarz (^9ed8dfCorollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0)) alle funzioni trigonometriche (Funzioni trigonometriche > ^dd4b35Definizione 4 (seno e coseno)), in particolare il coseno; infatti sono entrambe limitate in
Siano
Si definisce l'angolo di
Si osserva che l'angolo tra due vettori non nulli
data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Ortogonalità e ortonormalità
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)Definizione di ortogonalità tra due vettori e di una base, ortonormalità di una base di un R-spazio vettoriale. Esempi di basi ortonormali.
Due vettori
Come osservato nell'osservazione 3.2 sugli angoli (Norma, versore e angolo > ^013addOsservazione 8 (condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori)), l'ortogonalità di due vettori è sostanzialmente la codificazione "algebrica" della perpendicolarità di due rette.
Infatti due vettori sono ortogonali se e solo se perpendicolari.
Sia
Allora
Sia
Allora
Sia
Si definisce l'ortogonale di
data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema spettrale
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)Il teorema spettrale per le matrici simmetriche: enunciato, conseguenze immediate ed esempi.
Sia
Allora esiste sempre una base ortonormale di autovettori per l'applicazione lineare associata alla matrice (Applicazioni Lineari Notevoli > ^fd2d05Definizione 1 (trasformazione lineare associata alla matrice)),