Cenni alla Geometria Euclidea - Sommario


Cenni alla Geometria Euclidea.


A. CENNI ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA

A1. Prodotto scalare

Prodotto Scalare

Definizione di prodotto scalare e le proprietà del prodotto scalare.


1. Definizione di Prodotto Scalare

Definizione 1 (prodotto scalare di due vettori).

Sia un spazio vettoriale su (Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)) di dimensione finita.
In particolare si sceglie .
Dati due vettori , definiamo il prodotto scalare tra come la quantità

Definizione 2 (funzione prodotto scalare).

Definiamo in tal modo la funzione prodotto scalare, ovvero una del tipo
dove

2. Proprietà del prodotto scalare

Proposizione 3 (la bilinearità del prodotto scalare).

Il prodotto scalare è bilineare, ovvero che valgono le seguenti proprietà:

  • ,
  • ,

Valgono anche delle analoghe proprietà scambiando .

Osservazione 4 (il prodotto scalare tra due vettori uguali).

Sia un 𝟚 un vettore.
Allora il prodotto scalare è .
Osserviamo che per il teorema di Pitagora, questa quantità è proprio la lunghezza del vettore dall'origine (figura 2.1.)

FIGURA 2.1. (Osservazione 2.1.)
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A2. La norma, il versore e l'angolo di due vettori

Norma, versore e angolo
Norma, versore e angolo

Conseguenze della definizione di prodotto scalare: definizione di norma di un vettore, definizione di versore e definizione di angolo tra due vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz


1. Definizione della norma e del versore

Definizione 1 (norma di un vettore).

Sia un vettore.
Definiamo la norma di la quantità
dove rappresenta il prodotto scalare (Definizione 1 (prodotto scalare di due vettori)).

Osservazione 2 (la norma è sempre positiva).

Notiamo che per il dominio della radice quadrata, la norma di un vettore qualsiasi è sempre positiva.

Definizione 3 (versore).

Si definisce un versore un vettore tale che la sua norma sia .

2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Teorema 4 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

Siano dei vettori in . Allora deve necessariamente valere la seguente disuguaglianza:

Corollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0).

Siano diversi dal vettore nullo (pertanto la loro norma sarà strettamente positiva).
Allora vale che il prodotto scalare dei vettori diviso per il prodotto scalare delle norme è limitato tra .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (Corollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0))
La dimostrazione del corollario è immediato. Basta considerare la disuguaglianza triangolare (Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare)), applicarla sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (Teorema 4 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)) e infine dividere da ambo i lati per .

3. Definizione di angolo

Osservazione 6 (la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la trigonometria).

Possiamo, in una maniera interessante, collegare la disuguaglianza di Cauchy Schwarz (Corollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0)) alle funzioni trigonometriche (Definizione 4 (seno e coseno)), in particolare il coseno; infatti sono entrambe limitate in .

Definizione 7 (angolo tra due vettori).

Siano due vettori non nulli in .
Si definisce l'angolo di come la quantità

Osservazione 8 (condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori).

Si osserva che l'angolo tra due vettori non nulli è se e solo se vale il seguente:
Questa osservazione diventa importante per la definizione di ortogonalità (Ortogonalità e ortonormalità).

A3. Ortogonalità di vettori e basi

Ortogonalità e ortonormalità
Ortogonalità e ortonormalità

Definizione di ortogonalità tra due vettori e di una base, ortonormalità di una base di un R-spazio vettoriale. Esempi di basi ortonormali.


1. Condizioni di ortogonalità e di ortonormalità

Definizione 1 (vettori ortogonali).

Due vettori si dicono ortogonali se si verifica che il loro prodotto scalare è nullo.

Osservazione 2 (conseguenza geometrica).

Come osservato nell'osservazione 3.2 sugli angoli (Osservazione 8 (condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori)), l'ortogonalità di due vettori è sostanzialmente la codificazione "algebrica" della perpendicolarità di due rette.
Infatti due vettori sono ortogonali se e solo se perpendicolari.

Definizione 3 (base ortogonale).

Sia una base di (Definizione 1.1. (Base)).
Allora si dice ortogonale se tutti gli elementi di tale insieme sono a due a due ortogonali tra di loro.

Definizione 4 (base ortonormale).

Sia una base di .
Allora si dice ortonormale se questa base è ortogonale e tutti gli elementi della base sono dei versori (Definizione 3 (versore)).

2. Ortogonale di un sottospazio vettoriale

Definizione 5 (ortogonale di un sottospazio).

Sia un sottospazio vettoriale.
Si definisce l'ortogonale di come l'insieme formato dai vettori in tali che questi vettori e ogni vettore di sia ortogonale.

3. Esempi/esercizi misti

A4. Il teorema spettrale per le matrici simmetriche

Teorema spettrale
Teorema spettrale

Il teorema spettrale per le matrici simmetriche: enunciato, conseguenze immediate ed esempi.


1. Enunciato del teorema

Teorema 1 (spettrale per le matrici simmetriche).

Sia una matrice quadrata simmetrica (Definizione 13 (matrice simmetrica e antisimmetrica)).
Allora esiste sempre una base ortonormale di autovettori per l'applicazione lineare associata alla matrice (Definizione 1 (trasformazione lineare associata alla matrice)), .