data: 2024-02-05
corso: [[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]
argomento: Cenni alla Geometria Euclidea - Sommario
tipologia: sommario
stato: "1"
capitolo:

Cenni alla Geometria Euclidea - Sommario

Cenni alla Geometria Euclidea.

A. CENNI ALLA GEOMETRIA EUCLIDEA

A1. Prodotto scalare

Prodotto Scalare

data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Prodotto Scalare
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)

Definizione di prodotto scalare e le proprietà del prodotto scalare.

0. Voci correlate

1. Definizione di Prodotto Scalare

#Definizione

Definizione 1 (prodotto scalare di due vettori).

Sia un spazio vettoriale su (Spazi Vettoriali > ^7e2c4e Definizione 1 (spazio vettoriale sul campo K)) di dimensione finita.
In particolare si sceglie .
Dati due vettori , definiamo il prodotto scalare tra come la quantità

#Definizione

Definizione 2 (funzione prodotto scalare).

Definiamo in tal modo la funzione prodotto scalare, ovvero una del tipo
dove

2. Proprietà del prodotto scalare

#Proposizione

Proposizione 3 (la bilinearità del prodotto scalare).

Il prodotto scalare è bilineare, ovvero che valgono le seguenti proprietà:

Valgono anche delle analoghe proprietà scambiando .

#Osservazione

Osservazione 4 (il prodotto scalare tra due vettori uguali).

Sia un $𝟚$ un vettore.
Allora il prodotto scalare è .
Osserviamo che per il teorema di Pitagora, questa quantità è proprio la lunghezza del vettore dall'origine (figura 2.1.)

FIGURA 2.1. (Osservazione 2.1.)
Pasted image 20240109162950.png

A2. La norma, il versore e l'angolo di due vettori

Norma, versore e angolo

data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Norma, versore e angolo
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)

Conseguenze della definizione di prodotto scalare: definizione di norma di un vettore, definizione di versore e definizione di angolo tra due vettori. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

0. Voci correlate

1. Definizione della norma e del versore

#Definizione

Definizione 1 (norma di un vettore).

Sia un vettore.
Definiamo la norma di la quantità
dove rappresenta il prodotto scalare (Prodotto Scalare > ^228d4c Definizione 1 (prodotto scalare di due vettori)).

#Osservazione

Osservazione 2 (la norma è sempre positiva).

Notiamo che per il dominio della radice quadrata, la norma di un vettore qualsiasi è sempre positiva.

#Definizione

Definizione 3 (versore).

Si definisce un versore un vettore tale che la sua norma sia .

2. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

#Teorema

Teorema 4 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz).

Siano dei vettori in . Allora deve necessariamente valere la seguente disuguaglianza:

#Corollario

Corollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0).

Siano diversi dal vettore nullo (pertanto la loro norma sarà strettamente positiva).
Allora vale che il prodotto scalare dei vettori diviso per il prodotto scalare delle norme è limitato tra .

#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^9ed8df Corollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0))
La dimostrazione del corollario è immediato. Basta considerare la disuguaglianza triangolare (Teorema 11 (la disuguaglianza triangolare)), applicarla sulla disuguaglianza di Cauchy-Schwarz (^15ae79 Teorema 4 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz)) e infine dividere da ambo i lati per .

3. Definizione di angolo

#Osservazione

Osservazione 6 (la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la trigonometria).

Possiamo, in una maniera interessante, collegare la disuguaglianza di Cauchy Schwarz (^9ed8df Corollario 5 (disuguaglianza di Cauchy-Schwarz 2.0)) alle funzioni trigonometriche (Funzioni trigonometriche > ^dd4b35 Definizione 4 (seno e coseno)), in particolare il coseno; infatti sono entrambe limitate in .

#Definizione

Definizione 7 (angolo tra due vettori).

Siano due vettori non nulli in .
Si definisce l'angolo di come la quantità

#Osservazione

Osservazione 8 (condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori).

Si osserva che l'angolo tra due vettori non nulli è se e solo se vale il seguente:
Questa osservazione diventa importante per la definizione di ortogonalità (Ortogonalità e ortonormalità Ortogonalità e ortonormalità).

A3. Ortogonalità di vettori e basi

Ortogonalità e ortonormalità

data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Ortogonalità e ortonormalità
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)

Definizione di ortogonalità tra due vettori e di una base, ortonormalità di una base di un R-spazio vettoriale. Esempi di basi ortonormali.

0. Voci correlate

1. Condizioni di ortogonalità e di ortonormalità

#Definizione

Definizione 1 (vettori ortogonali).

Due vettori si dicono ortogonali se si verifica che il loro prodotto scalare è nullo.

#Osservazione

Osservazione 2 (conseguenza geometrica).

Come osservato nell'osservazione 3.2 sugli angoli (Norma, versore e angolo > ^013add Osservazione 8 (condizione necessaria e sufficiente per la perpendicolarità di due vettori)), l'ortogonalità di due vettori è sostanzialmente la codificazione "algebrica" della perpendicolarità di due rette.
Infatti due vettori sono ortogonali se e solo se perpendicolari.

#Definizione

Definizione 3 (base ortogonale).

Sia una base di (Definizione di Base > ^def430 Definizione 1.1. (Base)).
Allora si dice ortogonale se tutti gli elementi di tale insieme sono a due a due ortogonali tra di loro.

#Definizione

Definizione 4 (base ortonormale).

Sia una base di .
Allora si dice ortonormale se questa base è ortogonale e tutti gli elementi della base sono dei versori (Norma, versore e angolo > ^8d3d4d Definizione 3 (versore)).

2. Ortogonale di un sottospazio vettoriale

#Definizione

Definizione 5 (ortogonale di un sottospazio).

Sia un sottospazio vettoriale.
Si definisce l'ortogonale di come l'insieme formato dai vettori in tali che questi vettori e ogni vettore di sia ortogonale.

3. Esempi/esercizi misti

#Esempio

A4. Il teorema spettrale per le matrici simmetriche

Teorema spettrale

data: 2024-01-09
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema spettrale
tipologia: appunti
stato: "1"
capitolo: Geometria Euclidea (cenni)

Il teorema spettrale per le matrici simmetriche: enunciato, conseguenze immediate ed esempi.

0. Voci correlate

1. Enunciato del teorema

#Teorema

Teorema 1 (spettrale per le matrici simmetriche).

Sia una matrice quadrata simmetrica (Matrice > ^501fe6 Definizione 13 (matrice simmetrica e antisimmetrica)).
Allora esiste sempre una base ortonormale di autovettori per l'applicazione lineare associata alla matrice (Applicazioni Lineari Notevoli > ^fd2d05 Definizione 1 (trasformazione lineare associata alla matrice)), .

#Corollario